albegra booleana unidad 2
UNIDAD 2
CUESTIONARIOS Y PROBLEMAS USANDO LA LOGICA
Actividad 1
CUESTION 1.1: Después de leer este capítulo introductorio, ¿Sabría decir de qué trata la lógica? Dar una definición.
Es la ciencia que trata del razonamiento de las cosa que logramos entender, no precisamente lo que el autor define sino a como nosotros le entendamos.
CUESTION 1.2. Defínanse los siguientes conceptos:
a) Enunciado: Es una expresión lingüística que establece un pensamiento completo.se clasifican en interrogativos, imperativos y declarativos.
b) Argumento: Es un sistema de enunciados de un lenguaje determinado. Uno de los enunciados es designado como la conclusión y el resto como las dos posiciones (premisas).
c) Argumento analítico: Es cuando el argumento de una serie finita de las dos posiciones es correcto si y solamente si el enunciado es analítico
Dar una clasificación de los diferentes tipos de enunciados y argumentos.
Enunciado analítico: Es al decir que un enunciado es verdadero, verdades necesarias o verdades lógicas. (Si y solamente si no puede ser falso. O lo que viene a ser lo mismo, si y solamente si en cualquier circunstancia es verdadero).
Enunciado sintético: son los enunciados que solo son verdaderos para el mundo actual, (verdades de hecho o verdades contingentes).
Argumentos correctos: si y solo si no es posible que sus premisas sean verdaderas y su conclusión falsa.
Argumento incorrecto: es cuando una circunstancia concebible que hiciese verdaderas las premisas y la conclusión falsa.
PROBLEMA 1.3: [38] Intente clasificar los siguientes enunciados en analíticos, sintéticos (estos es verdadero pero no analítico) y falsos empleando la caracterización de verdad lógica en termino de posibilidad. De los enunciados analíticos indicar cuáles son formalmente analíticos y cuáles no. Discútase los casos en los que la ambigüedad o vaguedad parecen ser cruciales.
1. La población de Madrid es mayor de 100.00 habitantes. Sintético
2. Algunos concertistas de piano son franceses. Posibilidad
3. Todo perro negro es un perro. Analítico formal
4. Todo criminal sospechoso es un criminal. Analítico formal
5. Todo criminal sospechoso es sospechoso. Analítico formal
6. Todos los cuervos son negros. Analítico formal
7. Si dos individuos son hermanos, son parientes. Analítico formal
8. Si un hombre es más alto que un segundo, entonces el segundo es más pequeño que el primero. Analítico formal
9. Todo lo que sube tiene que bajar. Analítico formal
10. Dos cuerpos no pueden estar en el mismo lugar al mismo tiempo. Sintético
11. En castellano. “Inglaterra” denota Inglaterra. Analítico informal
12. Para todo positivo x, y,z: si x<y entonces x +z<y + z. Posibilidad
ejercicio 9
actividad 2
9.1. - Use tablas de verdad para establecer de las leyes del Morgan’s.
Solución
Las tablas de verdad requeridas aparecen en la figura S9.1. Desde los valores en el final de dos columnas son idénticas que las tablas que verifican las leyes que sostiene Del Morgan´s.
|
p |
q |
p´ |
q´ |
p v q |
p´ ^ q´ |
(p v q)´ |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
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0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
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1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
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1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
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p |
q |
p´ |
q´ |
p ^ q |
p´v q´ |
(p ^ q)´ |
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0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
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1 |
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1 |
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1 |
1 |
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1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
En la primera tabla es lo realice con la ayuda de los telas que leí en las copias de algebra booleana que simplemente p´ es 1 cuando p es 0 ,1 y q´ es 1 cuando q es 0, p v q es 0 cuando p y q son 0, p´ ^ q´ es 1 cuando p´ y q´ son 1, (p v q) ´ es 1 cuando p v q son 0.
En la segunda tabla p´ es 1 cuando p es 0 y q´ es 1 cuando q también es 0, p ^ q es 1 cuando p y q son 1, p´v q´ es 0 cuando p´ y q´son 1, (p ^ q)´ es 0 cuando p ^ q es 1
9.2. - Con la ayuda de las leyes de álgebra del booleana verifique a lo siguiente:
(a) (p ˄ q´)´ v r´= (p´ v q) v r´
(b) ((p ˄ q´) ˄ (r v (p ˄ q´ ))) ´ = p´v q
Solución
(a) (p ˄ q´ ) ´ v r´= p´ v q v r´ = (p´ v q) v r´= p´ v q v r´ Usando De las leyes de Morgan´s, las leyes asociativas y (q´) ´= q.
(b) ((p ˄ q ´) ˄ (r v (p ˄ q´))) ´
= (p ˄ q´) ´ v (r v (p ˄ q´)) ´ por las leyes de Morgan´s
= (p´ v q) v (r´^ (p ˄ q´) ´) por las leyes de Morgan´s y el hecho que (q´) ´=q
= (p´v q) v (r´^ (p´v q)) por las leyes de Morgan´s
= ((p´v q) v r´) ^ (p´v q) por el distributivo y leyes de impotencia.
= p´v q por la absorción y leyes de impotencia.
de Booleana) con la tabla de verdad mostrada en figura 9,19.
Solucion
p´ q´ r´ s v p´ q´ r s´ v p q´ r s v p q r´ s
9.4.- Estructura la tabla de verdad para la expresión Booleana (p ^ (q ´ v r)) v (p´ ^ (q v r´)) y determina su forma normal disyuntiva.
Solución:
Permita f = (p ^ (q´ v r)) v (p´ ^ (q v r´ )). La Tabla de verdad para f se da en figura s9.2
|
p |
q |
r |
q´ v r |
q v r´ |
p^(q´ v r) |
p´^(q v r´ ) |
f |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
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0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
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0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
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0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
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1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
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1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
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1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
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1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
La forma normal disyuntiva es: p´q´r´ v p´q r´ v p´q r v p q´r´ v p q´r v p q r
9.5. - Escriba la expresión (p ^ el q´) ^ r
(a) usando a sólo los operadores v y ´,
(b) usando a sólo los operadores NAND.
Solución
(a) (p ^ q´ ) ^ r = (((p ^ q´) ^ r) ´) ´= ((p ^ q´) ´ v r´ )´= ((p´v q) v r´ ) ´= (p´v q v r´ ) ´
(b) (p ^ q´ ) ^ r = (p ^ (q NAND q)) ^ r =
· ((p ^ (NAND q)) NAND r) NAND ((p ^ (q NAND q)) NAND r) = (((p NAND (q NAND q)) NAND (p NAND) (q NAND q))) NAND r) NAND (((p NAND (q NAND q)) NAND (p NAND (q NAND q))) NAND r).
9.6.- El operador del Booleana NOR es definido por p NOR q = (p v q) ´ de v. muestre que {NOR} es una puerta completo de operadores.
Solución
P´= (p v p) ´ = p NORD p
· p v q = ((p v q )´ ) ´ = (p NORD q )´ = (p NORD q) NOR (p NOR q)
· P ^ q = (p´v q´ ) ´= p´ NOR q´= (p NOR p) NOR (q NOR q)
De, {NOR} es un completo de los operadores.
Como una alternativa, nota que p NAND q = (p ^q)´ = ((p´ v q´ )´)´= (p´ NORD q´)´= ((p NOR p) NOR (q NOR q)) ´.
De, p NAND q = ((p NOR p) NOR (q NOR q)) NOR ((p NOR p) NOR (q NOR q)).
Subsecuentemente NAND puede expresarse en términos de NOR, y {NAND} es puertas completo de operadores, {NOR} también es una puerta completa de operadores.
9.7. - Dibuje un mapa del karnaugh para la expresión del Booleana cuya la forma normal disyuntiva es p´q´r v p´q r v p q r´ v p q r y encuentra una versión simplificada de la expresión.
Solución
El mapa del karnaugh se muestra en figura S 9.3
|
|
p q |
p´ q |
p´ q´ |
p q´ |
|
r |
1 |
1 |
1 |
|
|
r´ |
1 |
|
|
|
Esto contiene dos pares y para que
p´q´r v p´qr v pqr´ v pqr = (p´q´r v p´qr) v (pqr´v pqr)
= p´r (q´v q) v pq (r´v r)
= p´r v pq.
9.8.- Haya la forma normal disyuntiva del f (p, q, r) de función de Booleana con la tabla de verdad mostrada en figura 9.20
|
p |
q |
r |
f(p, q, r) |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
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0 |
1 |
1 |
0 |
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1 |
0 |
0 |
0 |
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1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Dibuje un mapa del karnaugh y encuentre una versión simplificada de f (p, q, r).
Solución
f= p´q´r´ v p´qr´v pq´r v pqr
El mapa del karnaugh se muestra en figura S 9.4
|
|
pq |
p´q |
p´q´ |
pq´ |
|
r |
1 |
|
|
1 |
|
r´ |
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1 |
1 |
|
Hay dos pares (uno oculto)
Simplificando da p´q´r´ v p´qr´= p´r´ y pq´r v pqr = pr.
Por consiguiente, f = p´r´v pr.
Esto contiene dos pares y para que p´q´r v p´qr v pqr´v pqr = (p´q´r v p´qr) v (pqr´v pqr)
= p´r (q´v q) v pq (r´v r)
= p´r v pq.
9.9. - Determine el rendimiento final del circuito de la lógica mostrado en figura 9.21
Use el mapa karnaugh para encontrar un circuito equivalente que no consiste en una puerta AND y una puerta de NOT.
Solución
El rendimiento final es p´qr v p´q´r qué tiene el mapa karnaugh trazarlo en la figura S9.5.
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pq |
p´q |
p´q´ |
pq´ |
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r |
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1 |
1 |
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r´ |
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Simplificando da p´r y para que el circuito simplificado es como esta mostrado en la figura S9.6
9.10. - Con la ayuda de las leyes de álgebra del Booleana, verifique ese p´ NAND (q´ NAND r) es equivalente a p v (q´ ^ r).
Reemplace el circuito en figura 9.22 con uno equivalente usando uno la puerta AND, una puerta OR, y un inversor.
Solución
p´ NAND (q´ NAND r) = p´ NAND (q´^ r´)´
= p´ NAND (q v r´)
= (p´^ (q v r´))
= p v (q v r´) ´
= p v (q´^ r)
El circuito requerido se muestra en la figura S 9.7
9.11- mostrar de los dos circuitos lógicos en la figurab9.23 cuáles son sus equivalencias.
Solución
El rendimiento del primer circuito es p´q´r v pqr´ v qr qué es igual que p´q ´r v pqr´v pqr v p´qr subsecuentemente qr = (p v p ´ ) qr.
El rendimiento del segundo circuito es p´r v pq
De la solución a 9.7 anteriormente, p´q´r v pqr´v pqr v p´qr = p´r v pq
De los dos circuitos son equivalentes
9.12. - Dibuje un circuito de la lógica para la expresión p NOR q que usan Sólo las puertas de NAND. [La indirecta: primero verifique ese p NOR q = (p´ NAND q´ ) ´ de NAND y revoca que para cualquier Booleana el r, r´ inconstante = NAND r.]
Solución
p NOR q = (p v q) ´ = p´^ q´= ((p´ ^ q´) ´) ´ = (p´ NAND q´) ´ = ((p NAND p) NAND (q NAND q)) NAND ((p NAND p) NAND (q NAND q))