UNIDAD 4 ANALISIS COMBINATORIO
UNIDAD IV
ANALISIS COMBINATORIO
EJERCICIO 6.1
Deseo tomar 2 piezas de frutas para preparar mi almuerzo. Tengo 3 plátanos, 4 manzanas y 2 peras. Cuantas maneras puedo seleccionar con 2 piezas de las diferentes frutas ?
SOLUCION
Si selecciona 1 de 3 tres plátanos y 2 de las 4 peras entonces 3 x 4=12, selecciones diferentes podrían ser hechas. Si selecciono el plátano y la pera habría 3 x 2=6 selecciones diferentes. Finalmente, seleccionando las manzanas y las peras puedo obtener un 4 x 2 =8 maneras diferentes. Como estos 3 juegos de posibilidades son disjuntas, habría 12 + 6 + 8 =26 maneras diferentes de seleccionar 2 piezas de diferentes tipos.
EJERCICIO 6.2
Cuantas licencias distintas de platos están consistiendo de 6 caracteres, el primero de 3 letras y el último de 3 dígitos.
SOLUCION
Cada de 3 letras pueden ser 1 de 26 letras principales del alfabeto. Para la multiplicación principal del número de secuencias diferentes de 3 letras seria 26x26x26=17,756. Similarmente, el numero de secuencias diferentes de 3 dígitos la que pueden aparecer en la licencia de platos es 10x10x10=1000. Finalmente cada licencia de platos de 3 letras seguidas de 3 dígitos, la multiplicación principal seria dando un total de 17, 576,000 platos diferentes.
EJERCICIO 6.3
Una computadora representa integrantes usando el digito binario N, el primer signo indica (+ o -) y restando N-1 representa la magnitud del integrante. Cuantos integrantes distintos pueden ser representados con el digito binario N?
SOLUCION
Cada digito binario es cualquiera como 0 o 1 y tal digito como N. por lo tanto en el numero de binarios diferentes la longitud de la cuerda N es 2N. Diferentes cuerdas binarias corresponden diferentes integrantes excepto para la integración 0 que es representado para 2 cuerdas diferentes: 1 representa + 0 y la otra representa -0. Así puede ser representada 2N -1 diferentes integrantes.
EJERCICIO 6.4
Cuantas palabras de 4 letras pueden ser hechas con las distintas letras de la lista a, g, m, o, p y r?
SOLUCION
Una palabra seleccionada esta ordenada en cualquiera de las diferentes letras para que dé 6 letras. Esto es lo justo.
P (6,4) = 6! = 6!= 6X5X4X3X2X1
(6-2)! 4! 4X3X2X1
Por Anulación:
SE ANULAN LO SIGNOS QUE SON IGUALES
P (6,4) = 6X5X4X3X2X1 =6X5=30
4X3X2X1
EJERCICIO 6.5
En un restaurante chino usted puede ordenar un menú exactamente de 3 a 7 platos diferentes. Cuantas combinaciones diferentes de 3 platos principales puede ordenar usted?
SOLUCION
Hay
C (7,3)= 7! = 7! = 7X6X5X4X3X2X1
(7-3)!3! 4!3! (4X3X2X1)(3X2X1)
Cancelando da
ES DECIR SE CANCELAN LOS SIGNOS QUE SON IGUALES
C (7,3)= = 7X6X5X4X3X2X1
(4X3X2X1)(3X2X1)
= 7X6X5
3X2X1
=35
3 combinaciones diferentes de platos principales
EJERCICIO 6.6
5 dados son arrojados. Cuantos resultados diferentes son posibles?
SOLUCION
Cada dado puede mostrar 1 de 6 resultados. Si 5 dados son arrojados, el numero de resultados son un extra orden seleccionado de 5 objetos con repetición dejando que es C(n+R-1, n-1) con n=6 y R=5. Esto da
C (10,5)= 10!= 252
5!5!
Resultados diferentes.
EJERCICIO 6.7
Doce personas incluyendo a Mary y Perter, son candidatos para servir en un comité de 5. Cuantos comités diferentes son posibles?
De estos cuantos
a) Contiene a ambos a Mary y Peter?
b) No contiene a ninguno a Mary y Peter?
c) Contiene cualquiera de los dos a Mary y Peter?
SOLUCION
Hay
C (12,5)= 12! =792
7!5!
Posibles comités
(a) Si Mary y Peter ya son incluidos nosotros podemos seleccionar 3 miembros más para el comité de 10 personas disponibles. Estos pueden ser determinados en
C (10,3)= 10! =120
7!3!
Por lo tanto, 120 comités contienen a ambos a Mary y Peter
(b) si Mary y Peter son incluidos nosotros podemos seleccionar 5 miembros para el comité de 10 personas disponibles. Estos pueden ser determinados en
C (10,5)= 10! =252
5!5!
Por lo tanto, 252 comités no contienen a Mary ni Peter
(c) Una manera de calcular el número de equipos para formar comités que contenga a Mary, excluyendo a Peter y que contengan a 4 de las otras personas. Estos es justo C (10,4). El mismo número de comités que contenga a Peter y excluya a Mary es 2xC (10,4)=420 comités contiene a cualquiera de los dos a Mary y Peter. Una alternativa aproximada es observar que cada de los 792 comités posibles correspondiente sea preciso a uno de las 3 categorías definidas por (a). (b) y (c). Por lo tanto, el numero requerido en (c) es igual a 792-120-252=420.